2012 年日本数学オリンピック予選

クリスカ^{∗}^{†} 2012 年 1 月 15 日

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正方形の 1 辺を x とおくと, AB = BC = x(> 7). また, AP, QC は下図のようになる. よって, ZR = x−6,

DR = x − 7 より, DZ^{2} = ZR^{2} + DR^{2} ⟺ 5^{2} = (x − 6)^{2} + (x^{7})^{2} ⟺ 25 = 2x^{2} − 26x + 85 ⟺ x^{2} − 13x + 30 ⟺ (x − 3)(x − 10) = 0 ⟺ x = 3, 10

ここで, x > 7 より, x = 10.

∗ k-nakagawa@h6.dion.ne.jp † ニコニコミュニティ：日本数楽会

円周角及び接線と弦とのなす角の関係より, ∠ACB = ∠ADB = 30^{∘} ∠CAD = ∠CBD = 10^{∘}

また, AB//CD 及び円周角の定理より ∠BDC = x とおくと,

∠CAB = ∠DBA = ∠ACD = ∠BDC = x.

ここで, △ABC に着目して x + x + 10^{∘} + 30^{∘} = 180^{∘} ⟺ x = 70^{∘} a ∼ i > 0 より, a × b × c, d × e × f, g × h × i > 0 が言えるので, AM ≥ GM より

N ≥ \frac{(a × b × c) + (d × e × f) + (g × h × i)}{3}
≥ \sqrt[3]{(a × b × c) × (d × e × f) × (g × h × i)}
= \sqrt[3]{9!}
= \sqrt[3]{362880}.

ここで,

357911(= 71^{3}) < 362880 < 373248(= 72^{3}) i.e. 71 < \sqrt[3]{362880} < 72

であることと, N は整数であることより, N ≥ 72. ここで (a, b, c, d, e, f, g, h, i) = (1, 8, 9, 2, 5, 7, 3, 4, 6) とおくと, a × b × c = 1 × 8 × 9 = 72 d × e × f = 2 × 5 × 7 = 70 g × h × i = 3 × 4 × 6 = 72 より, 確かに N = 72 を満たす, (a, b, c, d, e, f, g, h, i) が存在する. よって, N = 72.

4

各桁の和が 3 の倍数であり, 9 の倍数ではないので, 各桁の和は 9n ± 3 = 3(3n ± 1) と表せる. また, 各桁の積を x とおくと, A + x は 9 の倍数であることより, 9n ± 3 + x = 9k ⟺ x = 9(k − n) ∓ 3 が言える. よって, x = 9m ∓ 3 = 3(3m ∓ 1) と表せる. 故に, A の各桁には, 3 か 6 を 1 つだけ含み, その他の桁は 1, 2, 4, 5, 7, 8 で構成されていることが分かる. よって, A は 3 桁以上の数字であるので, A の最小の候補である 13∗ のパターンの中では, 138 のみが条件を満たす数字だと分かる.

24^{240} = 2^{720} × 3^{240} より, 求める数は 2 の累乗と 3 の累乗の積で表されていることが分かる. ここで, 求める数が 2^{m} × 3^{n} と素因数分解できたとすると, 約数は

2^{i} × 3^{j} (0 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ n)

の形で表されることが分かる. よって約数の積は

2^{\frac{m(m+1)}{2} ×(n+1)} × 3^{\frac{n(n+1)}{2} ×(m+1)}

と書き表すことが出来る. よって

\{ \begin{matrix}\frac{m(m + 1)}{2} × (n + 1) & = 720 \\ \frac{n(n + 1)}{2} × (m + 1) & = 240 \end{matrix}

ここで,

m : n = \frac{2 × 720}{(m + 1)(n + 1)} : \frac{2 × 240}{(m + 1)(n + 1)} = 3 : 1

より

\frac{n(n + 1)}{2} × (3n + 1) = 240 ⟺ \frac{1}{2}(n − 5)(3n^{2} + 19n + 96) = 0

よって, (m, n) = (15, 5). 故に求める数は 2^{15} × 3^{5}(= 7962624).

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[figure: ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; ·; 1; 2; 3; 4; 98; 99; 100; 101; 102; 103; 104; 198; 199; 200]

上図より, 辺と辺の境界は 200 個あるので, この中から境界となる 2 辺を選ぶ組み合わせは\binom{200}{2} 通り. また, 色の決め方は赤, 青の 2 種類あるので 2! 通り.

以上より, \binom{200}{2} × 2! = 200 × 199 = 39800 通り.

直線 DE と円との交点を F, G とする. また, OD = OE = x とすると, 方巾の定理より, DA × DB = DF × DG ⟺ 24 = (7 − x)(x + 7) ⟺ x = ±5

よって, x > 0 より x = 5. また, △ADE について中線定理を用いると, AD^{2} + AE^{2} = 2(AO^{2} + DO^{2}) ⟺ 8^{2} + y^{2} = 2(7^{2} + 5^{2}) ⟺ y = ±\sqrt{84} = ±2\sqrt{21}

よって, y > 0 より y = 2\sqrt{21}. また, 方巾の定理より, EA × EC = EF × EG ⟺ 2\sqrt{21} × z = 12 × 2

⟺ z = \frac{24}{2\sqrt{21}} = \frac{12}{\sqrt{21}} (= \frac{4}{7}\sqrt{21})

故に CE = \frac{12}{\sqrt{21}} (= \frac{4}{7}\sqrt{21}).

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\sqrt{2012} > \sqrt{1936} = 44 より以下のようにパターン分けして考える.

(2012, 44 ∼ 37, 6 ∼ 5,  2, 1) ⟶ 8 × 2 = 16通り
(2012, 44 ∼ 37, 6 ∼ 5,  1) ⟶ 8 × 2 = 16通り
(2012, 44 ∼ 37,  4 ∼ 2, 1) ⟶ 8 × 3 = 24通り
(2012, 44 ∼ 37,  1) ⟶  8通り
(2012, 36 ∼ 26,  5,  2, 1) ⟶  11通り
(2012, 36 ∼ 26,  5,  1) ⟶  11通り
(2012, 36 ∼ 26,  4 ∼ 2, 1) ⟶ 11 × 3 = 33通り
(2012, 36 ∼ 26, 1) ⟶ 11通り
(2012, 25 ∼ 17,  4 ∼ 2, 1) ⟶ 9 × 3 = 27通り
(2012, 25 ∼ 17, 1) ⟶ 9通り
(2012, 16 ∼ 10,  3 ∼ 2, 1) ⟶ 7 × 2 = 14通り
(2012, 16 ∼ 10,  1) ⟶  7通り
(2012, 9 ∼ 5,  2, 1) ⟶  5通り
(2012, 9 ∼ 5,  1) ⟶  5通り
(2012, 4 ∼ 2,  1) ⟶  3通り
(2012,  1) ⟶  1通り

以上より, 全てのパターンを足し合わせると 16 + 16 + 24 + 8 + 11 + 11 + 33 + 11 + 27 + 9 + 14 + 7 + 5 + 5 + 3 + 1 = 201 通り

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A 君の書いた 2 つの数を a_{1}, a_{2}, B 君の書いた 2 つの数を b_{1}, b_{2} とすると,

\{ \begin{matrix}a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} > 0 \\ a_{1}a_{2} = 2(b_{1} + b_{2}) \\ b_{1}b_{2} = 2(a_{1} + a_{2}) \\ a_{1} + a_{2} ≥ b_{1} + b_{2} \end{matrix}

ここで, a_{1} ≤ a_{2}, b_{1} ≤ b_{2} としても一般性を失わないので, このように大小関係を定める.

a_{1} + a_{2} ≥ b_{1} + b_{2} = \frac{a_{1}a_{2}}{2} ⟺ a_{2} ≤ \frac{2a_{1}}{a_{1} − 2} = \frac{4}{a_{1} − 2} + 2

であり, a_{1} ≤ a_{2} 及び a_{1}, a_{2} > 0 と合わせることにより, 0 < a_{1} ≤ 4 ⟺ a_{1} = 1, 2, 3, 4 が分かる.

a_{1} = 1 のとき, a_{2} = 2(b_{1} + b_{2}), a_{2} = \frac{b_{1}b_{2} − 2}{2} より (b_{1} − 4)(b_{2} − 4) = 18.

よって (b_{1}, b_{2}) = (5, 22), (6, 13), (7, 10) i.e. b_{1} + b_{2} = 27, 19, 17. また, a_{1} + a_{2} ≥ b_{1} + b_{2} より b_{1} + b_{2} + 1 ≥ 0 となるので上記全ては条件を満たす.

a_{1} = 2 のとき, a_{2} = (b_{1} + b_{2}), a_{2} = \frac{b_{1}b_{2} − 4}{2} より (b_{1} − 2)(b_{2} − 2) = 8.

よって (b_{1}, b_{2}) = (3, 10), (4, 6) i.e. b_{1} + b_{2} = 13, 10. また, a_{1} + a_{2} ≥ b_{1} + b_{2} より 2 ≥ 0 となるので上記全ては条件を満たす.

a_{1} = 3 のとき, a_{2} = \frac{2}{3}(b_{1} + b_{2}), a_{2} = \frac{b_{1}b_{2} − 6}{2} より (b_{1} − \frac{4}{3}) (b_{2} − \frac{4}{3}) = \frac{70}{9}.

よって (b_{1}, b_{2}) = (2, 13), (3, 6) i.e. b_{1} + b_{2} = 15, 9.

また, a_{1} + a_{2} ≥ b_{1} + b_{2} より\frac{9 − (b_{1} + b_{2})}{3} ≥ 0 より, (b_{1}, b_{2}) = (3, 6) i.e. b_{1} + b_{2} = 9.

a_{1} = 4 のとき, a_{2} = \frac{1}{2}(b_{1} + b_{2}), a_{2} = \frac{b_{1}b_{2} − 8}{2} より (b_{1} − 1)(b_{2} − 1) = 9.

よって (b_{1}, b_{2}) = (2, 10), (4, 4) i.e. b_{1} + b_{2} = 12, 8.

また, a_{1} + a_{2} ≥ b_{1} + b_{2} より\frac{8 − (b_{1} + b_{2})}{2} ≥ 0 より, (b_{1}, b_{2}) = (4, 4) i.e. b_{1} + b_{2} = 8.

以上より, 8, 9, 10, 13, 17, 19, 27.

ちなみに条件を満たす組は以下の通り.

(a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}) = (1, 34, 7, 10)

= (1, 38, 6, 13) = (1, 54, 5, 22) = (2, 10, 4, 6) = (2, 13, 3, 10) = (3, 6, 3, 6) = (4, 4, 4, 4)

\frac{1000000}{n} − \frac{1000000}{n + 1} ≥ 2 ⟺ \frac{−1 − \sqrt{2000001}}{2} ≤ n ≤ \frac{−1 + \sqrt{2000001}}{2}

より, \sqrt{2000001} ≈ \sqrt{2 × 10^{6}} = 1000\sqrt{2} ≈ 1414.21356 ⋯ となることに注意すると, n は自然数なので,

0 ≤ n ≤ 706

よって, この範囲では\frac{1000000}{n} と\frac{1000000}{n + 1} の差が少なくとも 2 以上離れているので,

[\frac{1000000}{n}] − [\frac{1000000}{n + 1}] ≥ 2 となり条件を満たさないことが分かる.

また,

\frac{1000000}{n} − \frac{1000000}{n + 1} ≥ 1 ⟺ \frac{−1 − \sqrt{4000001}}{2} ≤ n ≤ \frac{−1 + \sqrt{4000001}}{2}

より, \sqrt{4000001} ≈ \sqrt{4 × 10^{6}} = 2000 となることに注意すると, n は自然数なので, 0 ≤ n ≤ 999.

以上より, 1 ≤ \frac{1000000}{n} − \frac{1000000}{n + 1} ≤ 2 を満たす自然数 n の範囲は 707 ≤ n ≤ 999.

ここで, n ≥ 1000 に対して, \frac{1000000}{n} − \frac{1000000}{n + 1} < 1 であり, [\frac{1000000}{n}] ≥ [\frac{1000000}{1000}] = 1000 であるので,

n ≥ 1000 に対して [\frac{1000000}{n}] は 1000 以下の全ての数字を最低 1 つはとる. よって条件を満たす自然数 n は 1000 個存在する. 後は, 707 ≤ n ≤ 999 の範囲で条件を満たす自然数 n がいくつあるかを調べれば良い.

ここで, \frac{1000000}{999} ≈ 1001.001001 ⋯, \frac{1000000}{707} ≈ 1414.427157 ⋯ であり,

また, \frac{1000000}{1000} = 1000, \frac{1000000}{708} ≈ 1412.4293785 ⋯ より,

707 ≤ n ≤ 999 のとき, 1001 ≤ [\frac{1000000}{n}] ≤ 1414, 1000 ≤ [\frac{1000000}{n + 1}] ≤ 1412 となる.

つまり, 707 ≤ n ≤ 1000 のとき, 1000 ≤ [\frac{1000000}{n}] ≤ 1414 となり, [\frac{1000000}{n}] は全て異なっている. よって, n は 1000 − 707 + 1 = 294 種類あり, [\frac{1000000}{n}] は 1414 − 1000 + 1 = 415 種類ある. ここで, (n, n + 1) の組み合わせが 294 − 1 = 293 種類あり, 1000 ≤ [\frac{1000000}{n}] ≤ 1414 の中で取り得ることが出来ない値は 415 − 294 = 121 種類ある. よって, 707 ≤ n ≤ 999 の範囲で条件を満たす自然数 n は 293 − 121 = 172 こ存在する. 以上より, 1000 + 172 = 1172 個.

2n × 2n のマス目に対して, 左上から右下にかけての対角線上のマス目 2n 個に着目し, これに平行な斜めのマス目で, 2(n − 1), 2(n − 2), …, 2 個のものも合わせた総数は全部で 2n^{2} であり, 条件より最大でも n^{2} 個のマス目しか塗ることが出来ない. これを左右反転させれば, 右上から左下にかけての同様な議論が出来て, 最大でも n^{2} 個のマス目しか塗ることが出来ないことがわかる. ここで条件より 2m 個の対角線上には塗られたマス目と塗られていないマス目がそれぞれ m 個あることが分かり, 塗られたマス目と塗られていないマス目が交互に入っていなければいけないことが分かる. ここで塗られたマス目 m 個と塗られていないマス目 m − 1 を交互に配置した場合, 余った塗られていない 1 つのマス目はどこに入っていても良く, m + 1 通りの入れ方が存在する. また, 2m 個の対角線上の塗り方は, 条件により 2(m − 1) 個の対角線上の塗り方に依存している. 2 個の対角線上の塗り方は 2 通りあり, 以下のように定める.

A  B

ここで条件を満たすように, 2(m − 1) 個の対角線上の塗り方と 2m 個の対角線上の塗り方を考察する. 2(m − 1) 個の対角線上の塗り方の 1 つが A のとき, 隣接する 2m 個の対角線上の 2 つのマスの塗り方は

\begin{aligned}A & A \\ & A \end{aligned}  or  \begin{aligned}A & A \\ & B \end{aligned}

2(m − 1) 個の対角線上の塗り方の 1 つが B のとき, 隣接する 2m 個の対角線上の 2 つのマスの塗り方は

\begin{aligned}A & B \\ & B \end{aligned}  or  \begin{aligned}B & B \\ & B \end{aligned}

以上より, 半分だけ考慮した 2m 個の対角線上の塗り方は ∑_{i=0}^{m} \binom{m}{i} 通り存在する.

よって, 2n 個の対角線上の塗り方はもう半分の塗り方にも依存しているので ∑_{i=0}^{m} \binom{n}{i}^{2} = \binom{2n}{n} 通り存在

する. 同様に右上から左下にかけての対角線上のマス目 2n 個の塗り方も\binom{2n}{n} 通り存在する.

以上より求める塗り方の総数は\binom{2n}{n}^{2} 通り.

I, J, K, L, M, N は, 立方体と 1 つの平面の交点より KL//NI, IJ//LM, JK//MN. また, 平行線と錯角の関係より, ∠GKL = ∠ANI, ∠GLK = ∠AIN. よって, △KGL ∼ △NAI. 同様に, △IEJ ∼ △LCM, △JF K ∼ △MDN. ここで, AI − GL = 8, AN − GK = (2012 − DN) − (2012 − F K) = F K − DN = 4 より,

NI = KL + \sqrt{8^{2} + 4^{2}} = KL + 4\sqrt{5}

CM − EJ = 6, CL − EI = (2012 − GL) − (2012 − AI) = AI − GL = 8 より,

LM = IJ + \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = IJ + 10

F K − DN = 4, DM − F J = (2012 − EJ) − (2012 − CM) = CM − EJ = 6 より,

JK = MN + \sqrt{4^{2} + 6^{2}} = MN + 2\sqrt{13}

また, K を通り, LM に平行な直線と M を通り KL に平行な直線との交点を P, M を通り, NI に平行な直線と I を通り MN に平行な直線との交点を Q, I を通り, JK に平行な直線と K を通り IJ に平行な直線との交点を R とすると, 2△IKM = 六角形IJKLMN + △P QR. L を通り, MN に平行な直線と N を通り LM に平行な直線との交点を S, N を通り, IJ に平行な直線と J を通り NI に平行な直線との交点を T, J を通り, KL に平行な直線と L を通り JK に平行な直線との交点を U とすると, 2△JLN = 六角形IJKLMN + △ST U. また, P Q = NI − KL = 4\sqrt{5}, QR = LM − IJ = 10, ST = JK − MN = 2\sqrt{13} より △P QR ≡ △ST U. よって, 求める値は △P QR の面積の値である. よって, ヘロンの公式より

△P QR = \frac{1}{4}\sqrt{2 ((4\sqrt{5} × 10)^{2} + (10 × 2\sqrt{13})^{2} + (2\sqrt{13} × 4\sqrt{5})^{2}) − ((4\sqrt{5})^{4} + (10)^{4} + (2\sqrt{13})^{4})}

= \frac{1}{4}\sqrt{2 (8000 + 5200 + 4160) − (6400 + 10000 + 2704)} = \frac{1}{4}\sqrt{34720 − 19104}

= \frac{1}{4}\sqrt{15616} = \frac{16\sqrt{61}}{4} = 4\sqrt{61}