Dedekind の切断

クリスカ^{∗}^{†}

2012 年 4 月 27 日

定義 1 ((Dedekind の) 切断) 全順序集合 K に対して, K = A ∪ A′, A ≠ ∅, A′ ≠ ∅, A ∩ A′ = ∅ なる K の部分集合 A, A′ が ∀x ∈ A, ∀y ∈ A′ ⇒ x < y を満たすとき, 切断 (cut(English), Schnitt(Deutsch)) といい, A, A′ をそれぞれ下組, 上組という. この切断を (A|A′) と書く.

上記のように Dedekind の切断を定義すると, 理論上 4 種類の切断方法がある.

定義 2 (切断の種類)

第 1 種の切断: ∃ max A, ∄ min A′ (A には最大元があり, A′には最小元がない)
第 2 種の切断: ∄ max A, ∃ min A′ (A には最大元がなく, A′には最小元がある)
第 3 種の切断: ∄ max A, ∄ min A′ (A には最大元がなく, A′にも最小元がない)
第 4 種の切断: ∃ max A, ∃ min A′ (A には最大元があり, A′にも最小元がある)

Remark 1 (切断の具体例) K = ℤ とすると, 切断の種類は第 4 種の切断のみ. K = ℚ とすると, 切断の種類は第 1 ∼ 3 種の切断がある.

Remark 2 (K = ℚ とすると, 第 4 種の切断がない理由) 第 4 種の切断があると仮定すると, 切断の定義より max A < min A′ となる. ここで, max A < x < min A′ を満たす x ∈ ℚ は x ∉ A, x ∉ A′ となるが x ∈ ℚ = A ∪ A′ となり切断の定義に反する.

以下 K = ℚ について考える. (A|A′) は第 1 種の切断 ⇒ ∃a ∈ ℚ s.t. A = {x ∈ ℚ | x ≤ a}, A′ = {x ∈ ℚ | x > a} (A|A′) は第 2 種の切断 ⇒ ∃a ∈ ℚ s.t. A = {x ∈ ℚ | x < a}, A′ = {x ∈ ℚ | x ≥ a} 逆に a ∈ ℚ に対して, 上の方法で第 1 種, 第 2 種の切断を構成できる.

第 1 種の切断 ⟷^{1:1} ℚ ⟷^{1:1} 第 2 種の切断

以後は第 2 種の切断は考えないことにする. 第 1 種の切断を有理数だと思う (同一視する) ことができる. 第 3 種の切断に対応するものは ℚ の中には存在しない. ⟶ 無理数定義 3 (実数) ℝ := {x | x は有理数または無理数} : 実数系

∗ k-nakagawa@h6.dion.ne.jp

† ニコニコミュニティ：日本数楽会

Remark 3 (有理切断, 無理切断) 第 1 種の切断 ( 第 2 種の切断 ) を有理切断という. 第 3 種の切断を無理切断という.

以後, 切断は第 1 種または第 3 種とする. α = (A|A′), β = (B|B′) としたとき, A ⫋ B, A = B, A ⫌ B のいずれか 1 つが必ず成立する.

Remark 4 (集合の大小関係の一意性) α = (A|A′), β = (B|B′) として, A ⫋ B, A ⫌ B の少なくとも 1 つが必ず成り立っていることを示す. そのために, このどちらも成り立っていないと仮定する. これは A\B ≠ ∅, B\A ≠ ∅ を意味する. つまり, a ∈ A\B(⊂ A), b ∈ B\A(⊂ B) となる a, b が存在する. ところが， a ∈ A\B(⊂ A) ⊂ B′ を意味する ((B|B′) が切断だから) . 同様に, b ∈ B\A ⊂ A′ を意味する. しかし, (A|A′) が切断であるから, 切断の定義より A の元は A′ の元より小さくなくてはいけない. よって, a < b である. 同様に, (B|B′) が切断であるから, 切断の定義より B の元は B′ の元より小さくなくてはいけない. よって, b < a である. この 2 つは矛盾しているので, 背理法によって A ⫋ B または A ⫌ B のどちらも成り立っていないことはあり得ない.

定義 4 (実数の大小) 2 つの実数 (= 切断 ) α = (A|A′), β = (B|B′) が与えられたときその大小を以下のように定義する.

• A ⫋ B のとき, α < β と ” < ” を定義する.
• A = B のとき, α = β と ” = ” を定義する.
• A ⫌ B のとき, α > β と ” > ” を定義する.
• α < β または α > β のとき, α ≠ β と ” ≠ ” を定義する.

Remark 5 (0 ∈ ℚ に対応する切断) (0|0′) を 0 で表す. (但し, 0 = {x ∈ ℚ | x ≤ 0}, 0′ = ℚ\0)

Remark 6 (有理数の稠密性) α < β ならば α < m < β を満たす m ∈ ℚ が ( 無数に ) ある. 何故ならば, 仮定により A ⫋ B. 故に c ∈ A′ ∩ B となるような c ∈ ℚ がとれる. ここで, 第 1 種の切断も第 2 種の切断も同じことであったので, 第 2 種の切断を考えた場合, 仮に第 3 種の切断であったとしても共に B には最大数がないことになるので, c < m ∈ B なる m ∈ ℚ は無数にあることが分かる. よって α < m < β がいえる.

定義 5 (実数の加減乗除) 2 つの実数 (= 切断 ) を α = (A|A′), β = (B|B′) とする.

1. α と β の和 α + β = γ を γ = (C|C′) で定義する. 但し, C′ = {a′ + b′ | a′ ∈ A′, b′ ∈ B′}, C ∈ Q\C′

2. α と β の差 α − β = δ を δ = (D|D′) で定義する. 但し, D′ = {a′ − b | a′ ∈ A′, b ∈ B}, D ∈ Q\D′

3. α と β の積 αβ = ξ を次で定義する.

α > 0, β > 0 のとき, ξ = (X|X′) で定義する. 但し, X′ = {a′b′ | a′ ∈ A′, b′ ∈ B′}, X ∈ Q\X′

その他の場合は ξ := \{ \begin{matrix}−(α(−β)) & α > 0, β < 0 のとき \\ −((−α)β) & α < 0, β > 0 のとき \\ ((−α)(−β)) & α < 0, β < 0 のとき \\ 0 & α = 0 またはβ = 0 のとき \end{matrix}

−α = 0 − α etc.

4. α と β の商\frac{α}{β} = η を次で定義する.

α > 0, β > 0 のとき, η = (Y |Y′) で定義する.

但し, Y′ = \{\frac{a′}{b} | a′ ∈ A′, b ∈ B, b > 0\}, Y ∈ Q\Y′

その他の場合は η := \{ \begin{matrix}−\frac{α}{−β} & α > 0, β < 0 のとき \\ −\frac{−α}{β} & α < 0, β > 0 のとき \\ −\frac{−α}{−β} & α < 0, β < 0 のとき \\ 0 & α = 0, β ≠ 0 のとき \end{matrix}

−α = 0 − α etc.

Remark 7 (減法と除法についての注意) D′ = {a′ − b′ | a′ ∈ A′, b′ ∈ B′} ではない.

Y′ = \{\frac{a′}{b′} | a′ ∈ A′, b′ ∈ B′, b′ > 0\} ではない.

定理 1 (実数の稠密性) 2 つの相異なる実数の間には, 無数の有理数と無理数が存在する.

< proof > 実数と切断を同一視し, α = (A|A′), β = (B|B′), α < β とおく. 無数の有理数の存在を示す. そのためには α < a < b < β なる a ∈ ℚ, b ∈ ℚ の存在をいえばよい. (有理数の稠密性より a と b の間に無数の有理数が存在するから.) α < β なので A ⫋ B, 従って ∃c ∈ ℚ s.t. c ∈ B\A

α ∈ ℚ のとき, α < \frac{α + c}{2} < c < β, \frac{α + c}{2} ∈ ℚ, c ∈ ℚ

従って a = \frac{α + c}{2} ∈ ℚ, b = c ∈ ℚ とすればよい. α ∉ ℚ のとき, c ∈ A′ であり, min A′ は存在しないので, ∃a ∈ A′ s.t. a < c

よって b = \frac{a + c}{2} とおくと, a, b ∈ ℚ となり, α < a < b < β

無数の無理数をの存在を示す. γ ∉ ℚ とすると, α − γ < d < β − γ となる d ∈ ℚ が無数に存在する. よって, α < γ + d < β, γ + d ∉ ℚ

< proof end >

定理 2 (Dedekind の基本定理, 実数の連続性) (A|A′) を実数の切断 ( 有理数の切断の ℚ を ℝ としたもの ) とすると, max A または min A′ が存在する. ( 第 3 種の切断は起こらない.)

< proof > B = A ∩ ℚ, B′ = A′ ∩ ℚ とおくと, (B|B′) は切断となる. よって, (B|B′) はある α ∈ ℝ を定義する. A ∪ A′ = ℝ なので α ∈ A または α ∈ A′ となる. ここで “α ∈ A ⇒ α = max A; α ∈ A′ ⇒ α = min A′” を示す. α ∈ A であって, α < β なる β ∈ A が存在したとする. すると実数の稠密性より (B|B′) = α < b < β を満たす b ∈ ℚ が存在する. b > α より b ∈ B′ ⊂ A′ となるので β > b より β ∈ A′ がいえる. これは A ∩ A′ = ∅ に矛盾する. 従って α = max A となる. 同様に α ∈ A′ ⇒ α = min A′ も示される.

< proof end >