12^{∘}, 36^{∘}, 48^{∘}, 24^{∘}

クリスカ^{∗}^{†} 2012 年 3 月 10 日

∗ k-nakagawa@h6.dion.ne.jp † ニコニコミュニティ：日本数楽会

辺 BD を一辺とする正三角形 EBD が出来るように点 A 側に点 E をとる. ∠BDC = 180^{∘} − (∠DBC + ∠BCD) = 180^{∘} − (36^{∘} + 48^{∘} + 24^{∘}) = 72^{∘} = ∠BCD より, BC = BD. よって, EB = BD = DE = BC.

ここで, ∠BEC = \frac{180^{∘} − ∠EBC}{2} = \frac{180^{∘} − (48^{∘} + 12^{∘} + 36^{∘})}{2} = 42^{∘} (∵ BE = BC)

よって, 直線 BA は線分 EC の垂直二等分線である. (∵ ∠BEC + ∠EBA = 42^{∘} + 48^{∘} = 90^{∘}, BE = BC) ゆえに, AE = AC. また, ∠ABC = ∠ACB = 48^{∘} より, AB = AC. よって, 点 A は △EBC の外心である. (∵ AE = AB = AC) (別証 : AB = AC, ∠BAC = 2∠BEC より円周角の定理を用いると点 A が △EBC の外心と分かる.) 以上より, 直線 AD は線分 EB の垂直二等分線である. (∵ △AEB, △DEB はともに底辺を EB とする二等辺三角形.)

以上より, ∠ADB = \frac{∠EDB}{2} = \frac{60^{∘}}{2} = 30^{∘}