2 次曲線の標準形

クリスカ^{∗}^{†} 2012 年 1 月 23 日

問題 ; 2 次曲線 ; 5x^{2} + 2\sqrt{3}xy + 3y^{2} − 4x − 17 = 0 ; の標準形を求め, 曲線の概形をかけ.

解答

A = (\begin{matrix}5 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 3 \end{matrix}) , b = (\begin{matrix}−2 \\ 0 \end{matrix}) , x = (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix})

とおくと, 与式は

txAx + 2(b, x) − 17 = 0

と表せる.

f_{A}(λ) = |\begin{matrix}5 − λ & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 3 − λ \end{matrix}| = (5 − λ)(3 − λ) − (\sqrt{3})^{2} = λ^{2} − 8λ + 12 = (λ − 6)(λ − 2) = 0

より, A の固有値は 6 と 2 である. それらの固有空間はそれぞれ

W_{6} = ⟨a_{1} = (\begin{matrix}√ & \overline{3} \\ 1 \end{matrix})⟩ , W_{2} = ⟨a_{2} = (\begin{matrix}−1 \\ √ & \overline{3} \end{matrix})⟩

である. A を対角化する直交行列 P は, a_{1}, a_{2} を正規化して得られるベクトルをそれぞれ第 1 列, 第 2 列とすれば良いから

P = \frac{1}{2} (\begin{matrix}\sqrt{3} & −1 \\ 1 & \sqrt{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix}cos \frac{π}{6} & − sin \frac{π}{6} \\ sin \frac{π}{6} & cos \frac{π}{6} \end{matrix})

∗ k-nakagawa@h6.dion.ne.jp † ニコニコミュニティ：日本数楽会

よって, 与えられた 2 次曲線は, 直交変換 (\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) = P (\begin{matrix}x′ \\ y′ \end{matrix}) により

txAx + 2(b, x) − 17 = 6 (x′ − \frac{\sqrt{3}}{6})^{2} + 2 (y′ + \frac{1}{2})^{2} − 18 = 0

∴ \frac{(x′ − \frac{\sqrt{3}}{6})^{2}}{3} + \frac{(y′ + \frac{1}{2})^{2}}{9} = 1

さらに, 平行移動により, 標準形

\frac{X^{2}}{3} + \frac{Y^{2}}{9} = 1

を得る. これは楕円である. また, 与えられた曲線は xy 座標軸を 30^{∘} 回転して得られる x′y′ 座標上で, 標準形を x′, y′ 軸方向にそれぞれ\frac{\sqrt{3}}{6}, −\frac{1}{2} だけ平行移動したものである.