漸化式の解法について

クリスカ^{∗}

2011 年 8 月 28 日

1 漸化式の定義

数列 a_{n} のいくつかの連続する項の値から, それぞれ次の項を与える関係

a_{n+1} = f(a_{n})
a_{n+2} = g(a_{n+1}, a_{n})
⋮

などを, 数列 {a_{n}} の漸化式といいます. 与えられた漸化式を満たすことを要求し, さらに, はじめのいくつかの項を指定すると {a_{n}} は決定します. このような数列の決め方を, 漸化式による (帰納的) 定義といいます.

2 定数係数線型 2 項間漸化式 (a_{n+1} = pa_{n} + q 型)

p, q を n によらない定数として, 漸化式

a_{n+1} = pa_{n} + q (n = 1, 2, …) · · · · · · ∗ ◯

を満たす数列 {a_{n}} を考えてみましょう.

2.1 p = 1 のとき

p = 1 の場合 ∗ ◯ は, {a_{n}} が公差 q の等差数列であることを意味します. よって

a_{n} = a_{1} + (n − 1)q

が求める結果です.

2.2 p ≠ 1 のとき

定数数列 {α} が ∗ ◯ を満たすとすれば, α = pα + q · · · · · · 1 ◯ となります. このとき,

∗ k-nakagawa@h6.dion.ne.jp

α = \frac{q}{1 − p}

となります. ここで, ∗ ◯ と 1 ◯ を辺々引き算すると

a_{n+1} − α = pa_{n} + q − pα − q
= p(a_{n} − α)

すなわち, 漸化式 ∗ ◯ が

a_{n+1} − α = p(a_{n} − α)  (n = 1, 2, …)  · · · · · · 2 ◯

と書き直されます. 2 ◯ は数列 {a_{n} − α} が公比 p の等比数列であることを示しています. したがって,

a_{n} − α = (a_{1} − α)p^{n−1}

ゆえに,

a_{n} = (a_{1} − α)p^{n−1} + α

= (a_{1} − \frac{q}{1 − p}) p^{n−1} + \frac{q}{1 − p} (n = 1, 2, …)

これが求める結果です.

研究 ; 漸化式 ∗ ◯ において, q = 0 であれば, 数列 {a_{n}} は公比 p の等比数列となります. ; そこで, 漸化式を変形して数列 {a_{n} − α} が, 公比 p の等比数列となるように出来ないか ; 考えてみます. ; それには, 定数 α の決め方が鍵になります. ; a_{n+1} = pa_{n} + q  · · · · · · A ◯ ; が, ; a_{n+1} − α = p(a_{n} − α)  · · · · · · B ◯ ; に変形できたとします. すると, B ◯ から a_{n+1} = pa_{n} + α − pα が得られるので, A ◯ と比 ; 較して q = α − pα すなわち α = pα + q となります. ; したがって, 漸化式で a_{n+1}, a_{n} を α とおいた α についての 1 次方程式 α = pα + q の解 ; を B ◯ にあてはめれば良いことが分かります.