逆写像定理と陰関数定理

クリスカ^{∗}

2011 年 5 月 1 日

逆写像定理 U ⊂ ℝ^{n} を開集合, f : U → R^{n} を C^{r} 写像で, 1 点 a ∈ U において det Df_{a} ≠ 0 とする. そのとき, U における a の開近傍 U_{1} と ℝ^{n} における f(a) の開近傍 V_{1} が存在して, C^{r} 同型写像 f : U_{1} → V_{1} である.

陰関数定理 m ≥ n とする. U を ℝ^{m} における原点 0 の開近傍, f : U → ℝ^{⋉} を f(0) = 0 となる C^{r} 写像とする. もし, 0 における f の Jacobian matrix Df_{0} の階数が n に等しいならば, ℝ^{m} における 0 の開近傍 U_{1}, V_{1} で U_{1} ⊂ U となるものと, C^{r} 同型写像 h : V_{1} → U_{1} であって, h(0) = 0 かつ (x_{1}, …, x_{m}) ∈ V_{1} に対して

fh(x_{1}, …, x_{m}) = (x_{1}, …, x_{n})

が成り立つものが存在する.

陰関数定理から逆写像定理を導く前述の陰関数の定理において

(\frac{∂f_{i}}{∂x_{i}} (0))_{1≤i≤n,1≤j≤n}

の階数が n に等しいとする. p(x_{1}, …, x_{n}, x_{n+1}, …, x_{m}) = (x_{n+1}, …, x_{m}) により p : ℝ^{m} → ℝ^{m−n} を定義するとき, h として p ∘ h = p を満たすものがとれる. 上の状況において M = f^{−1}(0) ∩ U_{1} とおく. そのとき, φ = p|_{M} : M → ℝ^{m−n} は開集合 W = φ(M) の上への同相写像である. しかも, その逆写像を g : W → M とかくと, g を ℝ^{m−n} の開集合 W から ℝ^{n} への写像とみて, g は C^{r} 写像である. 実際, h の性質により h^{−1}(M) = V_{1} ∩ {(0, …, 0, x_{n+1}, …, x_{m})} であり, p ∘ h = p となるように h をとっておけば

φ ∘ h(0, …, 0, x_{n+1}, …, x_{m}) = (x_{n+1}, …, x_{m})

であるから, φ ∘ h の像は開集合であり φ ∘ h は h^{−1}(M) から W の上への同相写像である. h が C^{r} 同型写像だから φ も M から W の上への同相写像である. 同様に, h^{−1} ∘ g(x_{n+1}, …, x_{m}) = (0, …, 0, x_{n+1}, …, x_{m}) だから h^{−1} ∘ g は C_{r} 写像であり, したがって g もそうである.

∗ k-nakagawa@h6.dion.ne.jp

M の点 (x_{1}, …, x_{n}, x_{n+1}, …, x_{m}) に対して

(x_{1}, …, x_{n}, x_{n+1}, …, x_{m}) = (x_{n+1}, …, x_{m})

であるから, 上の事実は M の点 x = (x_{1}, …, x_{n}, x_{n+1}, …, x_{m}) はその m − n 個の座標 x_{n+1}, …, x_{m} で定まり, 残りの座標 x_{1}, …, x_{n} は x_{n+1}, …, x_{m} の C^{r} 関数として解けることを示している.